Les cahiers du club

Les plus lourds que l'air

Le 15/08/2007

Bonjour Claude,

Un pilote taquin m’annonçait froidement au cours d’un décollage a l’Alpes d’Huez, qu’avec moi, c’était plus difficile ….. Ce a quoi j’objectais avec énergie, qu’au contraire, mon poids, du fait de la pente, favorisait le décollage. Ayant souvenir d’une superbe étude de ta main, je me disais que peut être, a temps perdu, pour le plaisir, tu saurais peut être démontrer en quelque lignes, sous une forme légère que Hervé + Claude au décollage de l’Alpes d’HUEZ donne une meilleure vitesse en bas de la pente que deux poids plumes version « trop maigres pour être honnêtes »

Hervé

Le 16/08/2007

Bonjour Hervé,

J’ai une nouvelle version du site, que je n’ai pas mise en ligne parce qu’il y a encore plus de calculs que dans la première, ce qui n’est pas peu dire. Dans cette version, j’étudie la course au décollage en tenant compte de la pente, de la traction de l’hélice (qui dépend de la vitesse), des frottements, et bien sûr de la masse de l’appareil. Le calcul est loin de faire quelques lignes, et le résultat n’est pas montrable du fait de la quantité de paramètres que j’ai entré dans les équations.

Mais en bref, j’ai une mauvaise nouvelle pour toi (et du coup pour moi du fait de la similarité de nos gabarits) : le pilote taquin qui t’a dit que la distance de décollage augmentait avec le poids a raison. Sans entrer dans la résolution des équations, mais juste en les posant, ça s’explique.

Si on projette toutes les forces en présence (traction de l’hélice, poids de l’avion, traînée aérodynamique et frottement des roues) sur l’axe de la trajectoire (en l’occurrence l’axe de la piste descendante), on obtient, en faisant la somme des projections, une force résultante Fr selon cet axe. On notera Fr = T (traction, à peu près dans l’axe) + P (projection du poids mg) – R (composante de la traînée selon l’axe) – F (frottement de roulement, dans l’axe).  Les signes – rappellent que R et F s’opposent à l’avancement de l’avion.

 Nos vieux souvenirs de physique disent que Fr = m x gamma, m étant la masse de l’appareil et gamma l’accélération.
Il est intéressant (si, si !) de distinguer parmi les forces celles qui dépendent de m et celles qui n’en dépendent pas.

** T ne dépend que de la vitesse (mais c’est se compliquer inutilement, on peut imaginer un groupe motopropulseur parfait qui exerce une traction constante)
** R ne dépend que de la vitesse (R est proportionnelle au carré de la vitesse par rapport à l’air) pour une configuration des volets donnée
** P [= m g sin(pente)] est proportionnel à la masse m
** F est (d’après la littérature) également proportionnelle à m : plus on charge la roue, plus elle résiste à l’avancement.
Or, puisque Fr = m x gamma, on a gamma = (T - R + P - F) / m = (T - R) / m + P / m - F / m
Comme P / m = g sin(pente) = constante, et que F / m = constante, on voit que s’il n’y avait que ces forces P et F (pas de traction T et pas de traînée aérodynamique R, par exemple le cas d’un chariot s’élançant sur une pente d’une planète sans atmosphère), on aurait gamma = P / m - F / m = constante : l’accélération ne dépendrait pas de la masse, un chariot lourd descendrait à la même vitesse qu’un chariot plus léger.

 Si on introduit la traînée aérodynamique R (on est revenu dans l’atmosphère terrestre, on est dans le cas d’un chariot caréné), on a toujours P / m - F / m = constante, mais on voit que maintenant l’accélération gamma dépend aussi de R / m : gamma = - R / m + P / m - F / m = - R / m + constante. Entre deux chariots, un lourd et un léger, à une vitesse donnée (R ne dépend que de la vitesse), le plus lourd accélère plus (puisque R/m est plus petit et affecté du signe -). En fait, même sans carénage (auquel cas R augmente avec la « surface » présentée par la charge dans le flux d’air), on constate souvent que R / m diminue quand m augmente : à vélo, j’ai toujours ridiculisé en descente les maigrichons qui m’avaient humilié en côte.

On en conclut donc qu’un planeur descend plus vite la piste s’il emporte un pilote plus lourd. Mais comme sa vitesse de décollage devra être supérieure (le carré de la vitesse de décollage varie comme la masse m pour que la portance au décollage compense le poids), il n’est pas évident de dire si sa distance de décollage sera plus courte ou plus longue sans développer le calcul complet et voir ce qui se passe selon la valeur de R (coefficient Cx de pénétration dans l’air). En tout cas, moi, je ne vois pas d’évidence.

 Si on ajoute maintenant la traction T, ce n’est plus seulement R qui intervient, mais T - R : on a gamma = (T - R) / m  + P / m - F / m = (T - R) / m  + constante. C’est bien sûr T qui l’emporte sur R, et la masse m qui augmente diminue (T – R) / m, c'est-à-dire l’impact de T-R sur l’accélération : l’avion plus lourdement chargé accélère moins, et utilise donc une distance supérieure pour atteindre une vitesse donnée. Et si on ajoute, comme on l’a vu pour le cas du planeur, qu’il doit atteindre une vitesse de décollage plus élevée pour obtenir la portance qui va bien, on voit qu’il est doublement pénalisé. Pas de doute, la distance de décollage augmente avec la masse, la pente n’y peut rien.

 Conclusion : ton copain qui fait le malin à l’Alpe d’Huez, tu l’invites cet hiver à faire une descente à ski et là c’est toi qui l’attendras au bar, en bas des pistes.

Claude

17/08/2007

Bonjour Claude, 

J’avais dis simple ! ! ! ! ! ! !     -))   Mais bon, j’accepte le verdict impitoyable de cette analyse incisive.  .Je me doutais bien que mon joli corps ne pesait pas bien lourd. 

Ceci dit, et toujours sous une forme néophyte, peut on dire, pour simplifier, que le club doit acquérir des avions adaptés a nos gabarits ?

Hervé

17/08/2007

Bonjour Hervé,

 Je suis effectivement spécialiste des réponses compliquées aux questions simples. Et encore, là, je n’ai pas donné le résultat du calcul, la formule magique qui donne la distance de décollage… 

Il y a deux solutions au problème que tu as soulevé :

* soit, comme tu le suggères, le club s’équipe d’avions adaptés à nos gabarits ; on peut toujours tenter de faire circuler une pétition réclamant des avions normaux (!)

* soit nous adaptons notre gabarit aux avions à l’échelle 0,8 dont le club est doté ; et là, en ce qui me concerne, il y a déjà une pétition qui circule, lancée par mon épouse.

 Claude